A组

1．四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交，又形成一个四边形EFGH，求证：四边形EFGH的对角互补．

2．一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长度依次是1，3，3，2．则该六边形的周长为多少?

3．如图所示，已知四边形ABCD中，∠B＝60°，∠A＝∠C＝90°，AB＝2，CD＝1，求四边形ABCD的周长．

4．四边形ABCD内接于单位正方形PQRS，求证：

．

分析与解答

1．如图所示，∵  ，

，∴ 

2．如图所示，设AB＝1，BC＝3，CD＝3，DE＝2，延长AB、CD，可见△GBC为等边△，又∠EDH＝60°，又∠EDH＝60°，故AB∥DE，同理AF∥CD，BD∥EF．由于A、B、C、D、E确定之后，过E作BC的平行线是唯一的，过A作CD的平行线也是唯一的，故F点也是唯一的．据此，作边长为3的正六边形，将每边3等分，作交角为60°（或120°）的平行线，易见EF＝2，FA＝4，故周长为1＋2＋3＋3＋2＋4＝15．

3．作AE⊥BC，DF⊥AE，E、F分别为垂足，则∠BAE＝∠ADF＝30°，CE＝DF，EF＝CD．

在Rt△ABE中

，．

在△AOF中，

，．

∴  所以周长＝．

4．如图所示，∵  ，，，．∴ 

．由基本不等式≤，有≤，≤，≤，≤，∴  ≤

．当A、B、C、D分别与P、Q、R、S重合时，等号成立．另一方面，设PA＝x，则QA＝1－x，≥，∴ 

≥．

当A、B、C、D分别为四边形PQRS的中点时，等号成立．

B组

1．如图所示中∠的度数等于________．

2．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是________．

3．以正方形ABCD的边CD为一边向正方形外作等边△CDE，BE交AC于M，则∠AMB＝________．

分析与解答

1．135°

2．6

3．60°

C组

1．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，P点在DC上，，Q点在AB上，，则四边形MPNQ的面积为________．

2．四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AC＝AD，则∠BDC＝________．

3．以线段a＝16，b＝13，c＝10，d＝6为边，使a∥c，作四边形，这样的四边形能做________个．

分析与解答

1．

2．45°

3．0

D组

某卡车只能带L公升汽油，用这些油可以行驶a千米，现在要行驶千米到某地，途中没有加油的地方，但可以先运油到路旁任何地点存储起来，准备后来之用．假定只有这一辆卡车，问应如何行驶，才能到达目的地，并且最省汽油?如果到达目的地的距离是千米，又应如何做?

分析与解答

在时，至少要在路上设一个储油站，车在起点到储油站之间至少经过3次，在（最后那个）储油站与终点之间经过1次．因此（最后那个）储油站离终点应尽可能远，即应当离终点a（千米）．汽车先到这储油站，留下公升的油再返回，然后再行至储油站补足油后恰好行走至终点．这时用的汽油最省，共2L公升．

在时，至少要设两个储油站（一个站至多能走到千米）．车在终点与储油站Ⅰ（自终点数过来的第一个站）间经过1次，在储油站Ⅰ、Ⅱ之间经过3次，在Ⅱ与起点之间经过5次，因此应使各储油站距终点尽可能远，即储油站Ⅰ距终点1千米，储油站Ⅱ距Ⅰ千米．汽车第一次在储油站Ⅱ处储油，第二次在储油站Ⅰ储油公升．这样可到达终点，只用汽油3L公升．