测量金字塔的高度

古希腊数学家、天文学家泰勒斯（Thales，约前625～前547）在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想．它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃，在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学题具有充分的说服力，令人深信不疑．

证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯就是几何学的先驱．他把埃及的地面几何演变成平面几何学，并发现了许多几何学的基本定理，如“直径平分圆周”“等腰三角形底角相等”“两直线相交，其对顶角相等”“对半圆的圆周角是直角”“相似三角形对应边成比例”等，并将几何学知识应用到实践当中去．

据说，埃及的大金字塔修成一千多年后，还没有人能准确地测出它的高度．有不少人作过很多努力，但都没有成功．

一年春天，泰勒斯来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能解决这个难题．泰勒斯很有把握的说，可以，但有一个条件——法老必须在场．第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓．秦勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上．每过一会儿，他就让人测量他影子的长度，当测量值与他身高完全吻合时，他立刻在大金字塔在地面上的投影处作一记号，然后再丈量金字塔底到投影尖顶的距离．这样，他就报出了金字塔确切的高度．在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理．也就是今天所说的相似三角形定理．

谁的加工方法符合要求

一块直角三角形木板的一条直角边AB长1.5 m，面积为1.5 m²，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图1、图2所示．你能用所学过的知识说明谁的加工方法符合要求吗？（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分米）

介绍两个重要的“母子三角形”

在相似形中，有两个重要的“母子三角形”，它们分别是“母子直角三角形”与“母子等腰三角形”．同学们如能了解并掌握它，对于提高解题能力是有所帮助的，所以我们在这里特别予以介绍．

一、母子直角三角形

如图，在直角三角形ABC中，作斜边上的高AD，把△ABC分成Rt△ABD、Rt△CAD，这两个小三角形彼此相似，并且与原Rt△CBA相似．由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，又小三角形与大三角形彼此相似，宛如母子神似，故形象地称为“母子直角三角形”．

∵Rt△ABC∽Rt△DBA∽Rt△DAC，

即AB²=BD·BC，AD²=BD·DC，AC²=CD·BC．

母子直角三角形之所以重要，就是因为这三个等积式所反映的关系，在相似形解题中扮演着重要的角色，应用是十分广泛的．

用它来证明勾股定理十分简单．

事实上，利用图，有

AB²+AC²=BD·BC+CD·BC

=BC(BD+CD)

=BC²

用母子直角三角形的这三个等积式来证明有关平方或立方的线段等式，也显得比较方便．

例1 已知：如图，在Rt△ABC中，斜边上的高CD=h，BC=a，AC=b．

简析：由于求证式中有a²，b²，h²形式，再根据已知图形具备有母子直角三角形所示的条件，因此可以考虑用三个等积式来证．

证明：∵a²=BD·AB，b²=AD·AB，

∴h²=AD·BD．

例2 在△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．

求证：CD3=AF·BE·AB．

分析：如图，由题设可知，Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD都具备有母子直角三角形所示的条件．所以我们可以反复应用与其相应的三个等积式，再借助于三角形的面积公式，便可达到求证的目的．

证明：∵AD²=AF·AC，BD²=BE·BC，

∴AD²·BD²=AF·AC·BE·BC，

又∵AD·BD=CD²，AC·BC=CD·AB，

∴CD4=AD²·BD²=AF·BE·AB·CD

即CD3=AF·BE·AB．

从以上例子可以看出：应用时，必须在图形中，抓住直角三角形斜边上的高这一关键，这样我们才能灵活地运用母子直角三角形这一基本图形，来解决有关实际问题．

二、母子等腰三角形

如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=36°，作∠C的平分线CD，交AB于D，可算出∠BCD=36°．

又∵∠B=∠CDB=72°

∴等腰△ABC∽等腰△CBD．

另一个△ADC虽和△ABC不相似，但因∠ACD=36°，则有AD=DC，从而都是等腰三角形．这和原三角形有相近之处，故我们也把这样的几个三角形称为“母子等腰三角形”．

母子等腰三角形之所以重要，是因为它与黄金分割有着千丝万缕的关系．

如上图，若令AB=a，设BC=x，则CD=AD=x，BD=a－x，

由等腰△ABC∽等腰△CBD，则有

亦即 x²+ax－a²=0．

由上述的计算说明了这样一个结论：“顶角为36°的等腰三角形，底角平分线将其一腰分成两段，其分点即为黄金分割点．”它有着很重要的实用价值，比如它可用来作正五角星，作正十边形等，这在以后我们将要学习到．”