奥数竞赛

A组

1．直线l与□ABCD的边AB、AD交于E、F，G是l与对角线AC的交点．求证：．

2．在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM＝CN，D、E分别是MN、BC的中点，过点A作AP∥DE，AP交BC于P，求证：∠BAP＝∠PAC．

3．如图所示，在正方形ABCD中，若△EFC为直角三角形，且EF＝5，EC＝20，∠FEC＝90°，求正方形面积．

4．如图所示，ABCD是矩形，P是AB边上任意一点，试过P点作两条直线将矩形分为三个面积相等的图形．

分析与解答

1．如图所示，过B作BM∥l交AC于M，过D作DN∥l，交AC于N．由平行线分线段成比例定理有，．易证AM＝NC，于是有

．

2．如图所示，连结BN、CM，取BN、CM的中点F、G，连结DF、FE、EG、GD．由中位线定理，易证DF＝FE＝EG＝GD，即DFEG是菱形，则∠FDE＝∠EDG．再证∠BAP＝∠FDE，∠PAC＝∠EDG，故∠BAP＝∠PAC．

3．设正方形边长为a元，BF＝x，ED＝y，由面积关系有

即                     ①

又                     ②

                       ③

②＋③－2×①，②－③分别有

  ∴  x＝13代入②中有．

4．如图所示，矩形是特殊的四边形，很容易想到把一组对边三等分，其连线就把矩形面积三等分了．E、F是AB的三等分点，G、H是CD的三等分点，则EG、FH三等分四边形ABCD．下面分情况讨论：（1）若P与E或F重合，不妨设P与E重合，那么PG和PC为所求．（2）若P在线段EF上，过P的两条等分面积的直线必分别与EG、FH相交，易见，设EG、FH的中点分别是M、N，则PM和PN为所求．（3）若P在AE或FB上，不妨设P在AE或FB上，设P在AE上，则PM为所求之一．另一直线必与EG和FH相交．△EBC的面积是矩形ABCD面积的，由此可连PC，过E作ET∥PC交BC于T，连PT，则PT为所求之二．事实上，△PTE与△CTE的面积相等．

B组

1．如图所示，有两组平行线相交，共组成________个平行四边形．

2．如图所示，E、F、G、H分别是□ABCD四边的中点，则图中有________对全等三角形．

3．若四边形ABCD四边长分别为a、b、c、d，且，则这个四边形是________．

分析与解答

1．18

2．16

3．菱形

C组

1．已知P是正方形内一点，PA＝PB＝10，且P到CD边的距离也等于10，则正方形ABCD的面积为＝________．

2．如图所示，把一张宽为6的矩形纸片加以折叠，使一角顶点落在对边上，则折痕的长为________．

3．连接梯形两对角线中点的线段长为3，较长的底边为97，则较短的底边为________．

4．在梯形ABCD中（如图所示），AB∥DC，CE是∠BCD的平分线，CE⊥AD，DE＝2AE，CE把梯形分成面积为和两部分，若，则________．

分析与解答

1．256

2．8

3．91

4．

D组

1．如图所示，在长为5cm、宽为3cm的长方形内部有一平行四边形，这个平行四边形的面积等于________．

2．如图所示，ABCD是正方形，BF∥AC，AEFC是菱形，则∠ACF与∠F度数的比值是________．

3．直角梯形ABCD中，AD⊥AB，底AB＝13，CD＝8，AD＝12，则A到BC的距离为________．

分析与解答

1．

2．5

3．12