奥数练习

A组

1．从圆外一点P向⊙O引切线PC及割线PAB，并且PC＝20cm，PB＝40cm，弦AB的弦心距为8cm，则点P到⊙O的最近距离与最远距离分别是________与________．

2．过⊙O外一点P引两条切线PA、PB，A、B是切点，过A作直径AD．若∠P＝80°，则∠BAD＝________．

3．⊙O是△ABC的内切圆，AB、BC、CA三边上的切点分别是D、E、F，又AB＝15，BC＝12，CA＝9，则AD＝________，BE＝________，CF＝________．

⊙O的半径长是________．

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是内心，∠AOC＝105°，AB＝2cm，则OC＝________．

分析与解答

1．，

如图所示，由切割线定理，

∴  PA＝10（cm）．

AB＝30（cm），AE＝15（cm）．

⊙O的半径．

又PE＝25（cm）

∴ 

故点P到⊙O上最近点距离是；点P到⊙O上最远点的距离是．

2．40°

3．6，9，3，3．

4．．

∵  ∠AOC＝105°，．

∴  ∠A＝60°，∠B＝30°．

∵  AB＝2．

∴  ，AC＝1．

设Rt△ABC内切圆半径为r，则

，

∴  ．

故．

B组

1．在⊙O中，AD是直径，AB是弦，过点D作切线交AB的延长线于C，如果AB＝BC，则∠ADB的度数是________．

2．在半径为的⊙O中，AB是直径，点C分半圆使∶＝1∶2，过B、C两点的切线交于一点P，则PB＝________．

3．圆外切四边形相邻三边之比为3∶4∶5，周长为32cm，则该四边形第四条边的长是________．

参考答案

1．45°

2．3

连接BC与AC，则

又PB＝PC，且∠PCB＝∠BAC＝60°，

∴  △PBC是正三角形，故PB＝3．

3．8

C组

1．从⊙O外一点P引切线PA、PB，A、B是切点，在线段PA、PB上分别选取E、F使EF与⊙O相切，若PA＝1cm，则△PEF的周长是________．

2．圆外一点到圆心的距离是25cm，从这点向圆所引切线长为20cm，则该圆的半径是________，过两切点的弦长为________．

3．圆的一条直径被一条弦分成2cm和8cm两部分，则这条弦长度的最小值是________．

分析与解答

1．2

设EF切⊙O于D，则△PEF的周长是，

2．15cm，24cm

设圆的半径为r cm，延长PO交⊙O于D，并设PO交⊙O于F，则由切割线定理，得

∴  ．

故r＝15（cm）．

设AB与PO交点是E，由Rt△AEO∽Rt△PAO，得

∴  AB＝24cm

3．8cm

如图所示，AE＝8cm，BE＝2cm，设弦CD的弦心距为d，则

∵  ，

∴  ．