确定直线与圆位置关系的综合题

近年来的中考试题中，有一类判定直线与圆的位置关系的综合题，这类题涉及几何与代数的综合应用，知识点多，难度大，为使同学们解这类题有一定的思路，特举例说明其解法．

例1 已知：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB为圆O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米／秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米／秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

求(1)t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？

(2)t分别为何值时，直线PQ与圆O相切、相交、相离？(97年河北)

解 (1)∵AD∥BC，

∴ 只要QC=PD，四边形PQCD就为平行四边形，

此时，有3t=24-t，得t=6，即

当t=6秒时，四边形PQCD就是平行四边形．

同理，只要PQ=CD，PD≠CQ时，四边形PQCD就是等腰梯形．

如图2，从P、D分别作BC的垂线交BC于E、F，则EF=PD，QE=FC=2．

∴当t=7时，四边形PQCD为等腰梯形．

(2)设运动t秒时，直线PQ与圆O相切于点M(如图3)，从P作

PH⊥BC于H．则PH=AB，BH=AP．

∴PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t，

由切线长定理，得

PQ=PA+QB=t+26-3t=26-2t，

∵PQ²=PH²+HQ²，

∴(26-2t)²=8²+(26-4t)²，

例2 如图4，在平面直角坐标系中，点O’的坐标为(0，3)，圆O’与y轴交于原点O和点A，又B、C、E三点的坐标为(0，-2)、(4，0)、(x，0)，且0＜x＜4．

(1)求点A的坐标；

(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与圆O’有哪几种位置关系；

(3)求出直线BE与圆O’每种位置关系时，x的取值范围．(97年乌鲁木齐)

解(1)A点坐标为(0，6)；

(2)直线BE与圆O’有相离、相切、相交三种位置关系；

(3)如图4，当直线BE与圆O’相切于点D时，连结O’D，则三角形O’BD是直角三角形，

∵O’D=3，O’B=5，

∵△O’BD∽△EBO，

练习

如图5，在直角坐标系中，点O’的坐标为(2，0)，圆O’与x轴交于原点O和点A，又B、C、E三点的坐标分别为(-1，0)、(0，3)、(0，b)且0＜b＜3．

(1)求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式；

(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与圆O’有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时，b的取值范围．(96年江西)

切线判定中的能力培养

在平面几何的第三册中给出了关于圆的切线判定有三种方法：

首先是切线的定义：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

其二，如果一个圆的圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，那么这条直线是该圆的切线．

其三，是切线的判定定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

之所以给出三种判定方法，不仅是因为它们之间存在着内在的必然的联系，更主要的是可以运用它们从不同的角度进行判定，开拓了切线判定的各条通路，从而由题目中的不同的已知条件，选择恰当的方法来完成证明．

下面具体地就几道例题的分析，帮助同学们灵活地掌握切线判定方法的应用．

例1 如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若(1)r=2；(2)r＝2.4；(3)r=3，那么以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？

分析：判定直线与圆的位置关系，除观察直线与圆的交点个数外，还可以比较圆心到直线的距离与半径的大小．一般常用后一种方法，本题中⊙C的半径是已知的，所以只需求解C到直线AB的距离，而这个距离又是可求的——它是已知Rt△ABC的顶点C到斜边AB的垂线段的长．

解：作CD⊥AB于D．

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=5．

又根据三角形面积公式得CA·BC= CD·AB．

即圆心C到直线AB的距离d=2.4．

(1)当r=2时，d＞r，AB与⊙C相离；

(2)当r=2.4时，d=r，AB与⊙C相切；

(3)当r=3时，d＜r，AB与⊙C相交．

例2 如图2，△ABC内接于⊙O，直线MN经过点C，而且∠BCM=∠A．

求证：MN是⊙O的切线．

分析：MN与⊙O之间存在着公共点C，从已知中无法对C点的唯一性作出判断，由圆的切线的判定定理知，与圆有公共点的直线，如果与圆中经过这个点的半径垂直，那么，直线MN到圆心O的距离等于半径(直线MN与⊙O的公共点唯一)，则必有直线MN与圆O相切．解题的关键是证明直线与过公共点的半径垂直．

证明：过C点作直径CD，连结BD．

则∠DBC=90°，∴∠D+∠DCB= 90°．

∵∠D＝∠A，∠BCM=∠A，

∴∠BCM=∠D．∴∠BCM+∠DCB= 90°．即∠MCO=90°．

∴MN⊥OC，∴MN是⊙O的切线．

说明：切线的判定定理的题设中包含着两条：

(1)直线与圆存在有公共点(公共点的存在性)；

(2)直线垂直于过公共点的半径(公共点的唯一性)．

这两者缺一不可，如果具备(1)，只需证(2)(在这种情况下选用判定定理是最佳的选择)；如果两条都不具备，则两条都需证．

求证：以EF为直径的圆与AB相切．

分析：已知中没有给出直线与圆存在公共点，这时采用判定方法二，第一步只需作出圆心O到直线AB的距离OG，第二次仅需证明OG等于⊙O的半径这一点即可，且由已知不难证出这一点．

证明：取EF的中点O，作OG⊥AB于G．

∵CD⊥AB，∴CD∥OG．

∴AB是以EF为直径的圆的切线．

说明：此题如果采用判定定理，则务必证两点：(1)先证出直线与圆存在公共点；(2)证直线垂直于过公共点的半径．而(1)又可分为两种不同的情形：其一，是证直线上有一点在圆上；其二，是证圆上有一点在直线上．不难判断证此题只有采用“其一”是可行的．而能准确地判断出直线上的哪一点能是圆上的点是关键．如果直线与圆只能有一个公共点，那么这一点只能是过圆心向直线AB引垂线段的垂足G，因而也只需证垂足G在圆O上．

证法同上．

由上述分析，判定定理又可具体的分成两种不同的情况．

第一种，证：(1)直线上的点在圆上；(2)直线垂直于过公共点的半径．

第二种，证：(1)圆上的一点在直线上；(2)直线垂直于过公共点的半径．而第一种情况的实质就是判定方法二，所不同的只是在形式上把判定方法二分两步完成，显然它比方法二麻烦，因此，在证明已知中没有给出直线与圆存在公共点这类问题时，应先考虑用判定方法二，能用判定方法二的不用判定方法三．

例4 如图4，已知O是△ABC的外接圆的圆心，过O作DE∥AB，交过B点的切线于E，交AC于D，过O点作OF∥CA．交过C点的切线于F，连接EF．

求证：EF是⊙O的切线．

分析：与例3的已知条件相同,所以我们应先考虑判定方法二.即过圆心O作OG⊥EF于G,然后证OG等于⊙O的半径(OB)，而证OG=OB，需证△OBE≌△OGE，证

这样，我们就只有考虑用判定方法三的第二种情况证明此题，即在圆上找一点证它在直线．受上述分析的启发，我们不妨先使A、O、G三点共线，并使G点在圆上．即连接AO，并延长交⊙O于C，然后证明G点在直线EF上即证∠EGF=180°．

而我们不难证出∠EGF＝80°．

证明：连接AO并延长交⊙O于G，连结OB、OC．